Análise Combinatória – Parte 1
Nesta etapa da disciplina de Matemática Discreta, estudamos as ferramentas básicas para contar possibilidades em situações diversas, sem necessidade de listar todas. Utilizamos o Princípio Fundamental da Contagem e aprendemos a diferença entre arranjos simples e arranjos com repetição.
Princípio Fundamental da Contagem
Esse princípio nos permite determinar o número total de possibilidades em eventos compostos. Se uma tarefa pode ser feita de m maneiras e outra de n maneiras, então juntas podem ocorrer de m × n formas.
- Exemplo: Uma moeda lançada 3 vezes gera 2³ = 8 possibilidades distintas.
- Outro exemplo: 4 atletas disputam 3 posições no pódio → 4 × 3 × 2 = 24 possibilidades.
Arranjos Simples (sem repetição)
Um arranjo simples ocorre quando a ordem dos elementos importa e não há repetição. A
fórmula é:
A(m, r) = m! / (m - r)!
- Exemplo: 3 cartas são retiradas de um baralho de 52 sem reposição → A(52, 3) = 132.600.
- Outro exemplo: Formar uma comissão com presidente, vice e tesoureiro a partir de 40 alunos → A(40, 3).
Arranjos com Repetição
Quando é permitido repetir elementos e a ordem importa, usamos arranjos com repetição. A
fórmula é:
AR(m, r) = m^r
- Exemplo: Sortear duas bolas com reposição de uma urna com 3 cores → AR(3, 2) = 9.
- Outro exemplo: Placas de carro com repetição → 26³ × 10⁴ possibilidades.
Fatoriais e suas propriedades
O fatorial é essencial nos cálculos combinatórios. Define-se por:
m! = m × (m-1) × ... × 1.
"A simplificação entre fatoriais ajuda muito em divisões: 200! / 198! = 200 × 199"
Análise Combinatória – Parte 2
Aprendemos sobre permutação (quando a ordem importa) e combinação (quando a ordem não importa). Também analisamos situações com elementos repetidos.
Permutações Simples
Permutação é o número de maneiras de reorganizar todos os elementos de
um conjunto. Fórmula:
P(m) = m!
- Exemplo: 5 pessoas em fila → P(5) = 120.
- Outro exemplo: Empilhar 7 caixas distintas → P(7) = 5040.
Permutações com Repetição
Quando elementos se repetem, usamos a fórmula:
P(m; n1, n2, ...) = m! / (n1! × n2! × ...)
- Exemplo: Palavra “ANA” → P = 3! / 2! = 3.
- Outro exemplo: Palavra “ANALÍTICA” → A=3, I=2 → P = 9! / (3! × 2!) = 30.240.
Combinações
Nas combinações, a ordem não importa. Fórmula:
C(m, r) = m! / (r! × (m - r)!)
- Exemplo: Comissão de 3 membros entre 10 funcionários → C(10, 3) = 120.
- Outro exemplo: Aposta simples na Mega-Sena → C(60, 6) = 50.063.860 combinações.